공과대학의 응용학문은 자연과학대학의 순수학문이 뒷받침되지 않으면 발전할 수 없다. 순수학문에는 수학을 비롯, 물리·화학·생물 등 과학 과목이 포함된다. 이 중 수학은 과학을 표현하는 언어로서, 고교 과정에서는 수학적 사고력을 바탕으로 폭넓고 체계적인 과학 지식을 습득하는 기초과정이 이루어지고 있다. 대학에서 수학, 과학 통합교과형 논술로 수리논술을 시행하는 근본적인 이유가 여기에 있다.

어떻게 대비해야 하나

수리논술에 대비하기 위해서는 먼저 수학의 기본 개념과 정의를 정확히 이해하고, 과학의 법칙 및 공식을 실제 생활에 어떻게 접목시켜야 할 것인지를 생각하고 정리해두는 습관이 중요하다. 또한 수리논술 문제에서 제시하는 수리적 특성, 과학법칙이 무엇인지 생각해보고 제시된 자료의 수치적 근거를 찾아 논리적으로 글을 쓰는 연습이 꾸준히 이뤄져야 한다. 고정된 틀에 맞추지 말고 창의적이고 다양한 대안을 제시하여 최선의 해결방법이 무엇인지를 생각하고 정리해둔다. 특히 교과과정의 각 단원을 배우는 목적이 무엇인지를 정리해두는 습관이 필요하다.(예를 들면 미분을 배우는 목적은 가까이는 그래프를 그리고, 멀리는 최대-최소값을 찾는 것이다.)

실전 연습

다음은 주어진 문제의 용어 정의가 정확하지 않아서 여러 가지 답안이 제시된 경우다. 정답은 무엇이고, 이러한 오류들이 생긴 이유가 무엇인지 서술해보자.



프랑스의 수학자 베르트랑(Bertrand)은 1889년 다음과 같은 문제의 기하학적 확률을 제시했다. 반지름의 길이가 1인 원에서 임의의 현을 그을 때 그 길이가 내접정삼각형의 한 변보다 길게 될 확률을 구하라.

① 그림 1의 경우처럼 지름 AB에 수직인 현을 y축에 잡고 중심을 원점에 잡으면 표본공간은 {y┃-1쬩y쬩1}이고 내접삼각형의 한 변의 길이보다 긴 현의 경우 { y┃ -½쬩y쬩½}이 되므로 확률은 ½이다.

② 그림 2의 경우처럼 접점 A에서 현을 그으면 표본공간은 { θ┃0쬩θ쬩180。}이고, 내접정삼각형의 한 변의 길이보다 긴 현의 경우 { θ┃60。쬩θ쬩120。}가 되므로 확률은 ⅓이다.

③ 그림 3의 경우처럼 내접정삼각형의 한 변의 길이보다 긴 현의 중점을 P(x, y)로 잡으면 이 점들은 모두 원{(x, y)┃x²+y²쬩(½)²}이고 이때의 표본공간은 원이므로 확률은 ¼이다.

④ 그림 4와 같이 꼭짓점 A에서 현 AP를 그어 그 연장선과 접점 T를 지나는 접선 ℓ의 교점을 P、라 한다. A에서 모든 현의 연장선과 ℓ의 교점을 취하면 표본공간은 직선 ℓ이고, 내접정삼각형의 한 변의 길이보다 긴 현과의 교점은 B′C′ 위에 놓이므로 확률은 0이 된다.





일반적으로 ‘기하학적 확률 = 특정한 사건의 영역의 크기 / 표본공간의 전 영역의 크기’로 표현한다.

그림 1은 표본공간을 현 AB 위의 모든 점으로 특정한 사건의 영역의 크기를 선분 PP、 사이를 지나는 현 중에서 삼각형의 한 변과 평행한 직선만으로 고정시키므로 ‘임의의 선을 긋다’라는 명제에 어긋난다.

그림 3은 표본공간을 원의 내부의 모든 점으로 정의하고 특정한 사건의 영역의 크기를 내접삼각형의 한 변의 길이보다 긴 현의 중점을 P(x, y)로 잡은 경우인데, 조건에 맞는 영역 내의 P(x, y)점을 지나는 임의의 현이 반드시 그 현의 중점이 되지는 않는다. 즉, 특정한 사건의 영역의 크기를 제한하므로 ‘임의의’라는 명제에 어긋난다.

그림 4는 표본공간이 접점 T를 지나는 접선 ℓ로 정의했는데 ‘원에서 임의의 현을 긋는다’는 현 AQ, AP를 정의하는 것이지 연장된 선분 AQ′, 선분 AP′를 의미하지 않는다. 즉, 표본공간의 전 영역의 크기를 잘못 정의하고 있으므로 오류가 생겼다.

결론적으로 ‘원에서 임의의 현을 긋는다’라는 명제에 정확한 표본공간의 전 영역과 특정한 사건의 영역의 크기를 정확하게 정의한 확률은 그림 2의 풀이 방법이 타당하다고 볼 수 있다.

이처럼 수리논술은 중·고교 과정에서 교과서를 통해 배운 이론과 명제의 정확한 정의 및 활용 속에서 관심을 갖고 실용화하는 것이 필요하다.

_ 다음 주부터는 수리논술의 실전문제(과학논술, 수학논술)를 중심으로 연재를 이어갈 예정이다.