로그는 물리적 양을 간편하게 표현하는 강점이 있기 때문에 일상생활에서 접할 수 있는 몇 가지 수치를 나타내는 도구로 이용된다. 예를 들어 지진의 진동 크기를 정하는 리히터 규모, 소리의 세기를 나타내는 데시벨(dB), 산성과 염기성을 알려주는 수소이온농도(pH)가 그것이다.
‘진도’는 각 지점에서 지진의 세기를 나타내기 때문에 똑같은 지진이라도 지역에 따라 다르다. 따라서 지진을 분류할 때는 지진 자체의 크기를 어떤 척도에 따라 정량적으로 나타낼 필요가 있다. 이를 위해 현재 보편적으로 이용하는 방법이 1935년 리히터가 개발한 척도인 ‘매그니튜드(magnitude)’다. 지진의 규모는 진원지에서 100km 떨어진 지점에서 지진계로 측정한 지진파의 최대 진폭에 따라 결정되는데, 지진파의 최대 진폭은 지진에 따라 큰 차이를 보인다. 이 차이를 알기 쉽게 축소해 나타낸 것이 로그다. 지진파의 최대 진폭이 A미크론(1미크론=1000분의 1mm)인 지진의 규모 M은 상용로그를 이용해 Mlog10A(=logA)로 정한다.
언제부터인가 도심의 전광판에는 소음공해의 심각성을 보여주기 위해 ‘80dB’ 또는 ‘100dB’과 같은 수치가 등장했다. ‘데시벨(dB)’은 소리의 세기를 표준음의 세기와 비교해 나타낸다. 표준음(진동수 1000Hz)은 정상적인 청각을 지닌 사람이 겨우 들을 수 있는 소리로, 그 세기는 1㎡ 면적당 10~12W의 에너지를 나타낸다(10~12W/㎡). 표준음의 세기를 I0라 하고 어떤 소리의 세기를 I라고 할 때, 이 소리의 세기를 데시벨로 환산한 수치 L은 상용로그를 이용해 구한다(L=10log --I0I).
대기오염의 결과로 산성비가 내리고 토양이 산성화되고 있다는 소식을 종종 듣는데, 이때 ‘pH4.5’ ‘pH5.2’와 같은 수치를 접하게 된다. 또 우리가 일상적으로 사용하는 비누 광고에도 pH가 등장한다.
이런 수치는 용액 속의 수소이온농도를 측정해서 얻는다. 그런데 수소이온농도는 용액에 따라 큰 차이를 보이기 때문에, 이를 상용로그를 이용해 수소이온지수(pH)로 바꾸어 0부터 14까지의 수로 나타낸다. 1L의 용액 속에 있는 수소이온의 그램이온수를 나타내는 수소이온농도 [H2]를 pH로 바꾸는 공식은 pH=-log[H2]이다. 만약 수용액 중에 수소이온이 1.0×10-7g이 있다면 이때의 pH는 7이다. pH가 7인 용액은 중성, 7보다 작으면 산성, 7보다 크면 염기성이다.
문제) A라는 가전제품 회사는 새로운 전축용 스피커를 출시하면서 이 스피커가 30Hz에서 18000Hz까지 ±3dB의 고른 세기를 최대 출력에서 나타낸다고 광고했다. 이 광고의 의미는 30~18000Hz 의 진동수 영역에서 소리의 세기가 평균값으로부터 3dB 내에서만 변한다는 뜻이다. 이 경우 최대 소리의 세기와 평균 세기의 비는 얼마인가?
해설) 소리세기의 평균값을 I1이라 하고, dB로 나타낸 값을 β1이라고 하자. 그러면 세기의 최댓값 I2를 dB로 표시한 값 β2는 β2=β1+3dB이다.
따라서 β2-β1=10logI2/I010logI1/I0이고,
3dB=10(logI2/I0-logI1/I0)=10logI2/I1이다.
즉, logI2/I1=0.3
∴I2/I1=100.3=2.0
결론적으로 I2(소리세기의 최대값)는 I1(소리세기의 평균값)의 두 배다. 소리의 크기가 3dB 차이날 때 그 세기는 두 배 차이가 나지만, 사람의 귀(청각)로 느끼는 차이는 그리 크지 않다. 사람의 귀로 구별할 수 있는 소리의 크기는 대략 1dB 이상 차이가 나는 경우다.
‘진도’는 각 지점에서 지진의 세기를 나타내기 때문에 똑같은 지진이라도 지역에 따라 다르다. 따라서 지진을 분류할 때는 지진 자체의 크기를 어떤 척도에 따라 정량적으로 나타낼 필요가 있다. 이를 위해 현재 보편적으로 이용하는 방법이 1935년 리히터가 개발한 척도인 ‘매그니튜드(magnitude)’다. 지진의 규모는 진원지에서 100km 떨어진 지점에서 지진계로 측정한 지진파의 최대 진폭에 따라 결정되는데, 지진파의 최대 진폭은 지진에 따라 큰 차이를 보인다. 이 차이를 알기 쉽게 축소해 나타낸 것이 로그다. 지진파의 최대 진폭이 A미크론(1미크론=1000분의 1mm)인 지진의 규모 M은 상용로그를 이용해 Mlog10A(=logA)로 정한다.
언제부터인가 도심의 전광판에는 소음공해의 심각성을 보여주기 위해 ‘80dB’ 또는 ‘100dB’과 같은 수치가 등장했다. ‘데시벨(dB)’은 소리의 세기를 표준음의 세기와 비교해 나타낸다. 표준음(진동수 1000Hz)은 정상적인 청각을 지닌 사람이 겨우 들을 수 있는 소리로, 그 세기는 1㎡ 면적당 10~12W의 에너지를 나타낸다(10~12W/㎡). 표준음의 세기를 I0라 하고 어떤 소리의 세기를 I라고 할 때, 이 소리의 세기를 데시벨로 환산한 수치 L은 상용로그를 이용해 구한다(L=10log --I0I).
대기오염의 결과로 산성비가 내리고 토양이 산성화되고 있다는 소식을 종종 듣는데, 이때 ‘pH4.5’ ‘pH5.2’와 같은 수치를 접하게 된다. 또 우리가 일상적으로 사용하는 비누 광고에도 pH가 등장한다.
이런 수치는 용액 속의 수소이온농도를 측정해서 얻는다. 그런데 수소이온농도는 용액에 따라 큰 차이를 보이기 때문에, 이를 상용로그를 이용해 수소이온지수(pH)로 바꾸어 0부터 14까지의 수로 나타낸다. 1L의 용액 속에 있는 수소이온의 그램이온수를 나타내는 수소이온농도 [H2]를 pH로 바꾸는 공식은 pH=-log[H2]이다. 만약 수용액 중에 수소이온이 1.0×10-7g이 있다면 이때의 pH는 7이다. pH가 7인 용액은 중성, 7보다 작으면 산성, 7보다 크면 염기성이다.
문제) A라는 가전제품 회사는 새로운 전축용 스피커를 출시하면서 이 스피커가 30Hz에서 18000Hz까지 ±3dB의 고른 세기를 최대 출력에서 나타낸다고 광고했다. 이 광고의 의미는 30~18000Hz 의 진동수 영역에서 소리의 세기가 평균값으로부터 3dB 내에서만 변한다는 뜻이다. 이 경우 최대 소리의 세기와 평균 세기의 비는 얼마인가?
해설) 소리세기의 평균값을 I1이라 하고, dB로 나타낸 값을 β1이라고 하자. 그러면 세기의 최댓값 I2를 dB로 표시한 값 β2는 β2=β1+3dB이다.
따라서 β2-β1=10logI2/I010logI1/I0이고,
3dB=10(logI2/I0-logI1/I0)=10logI2/I1이다.
즉, logI2/I1=0.3
∴I2/I1=100.3=2.0
결론적으로 I2(소리세기의 최대값)는 I1(소리세기의 평균값)의 두 배다. 소리의 크기가 3dB 차이날 때 그 세기는 두 배 차이가 나지만, 사람의 귀(청각)로 느끼는 차이는 그리 크지 않다. 사람의 귀로 구별할 수 있는 소리의 크기는 대략 1dB 이상 차이가 나는 경우다.
