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수리·과학 논술은 이렇게

위성도시는 어디쯤 세워야 할까요

  • 김정금 JK 수리논술연구소장·제일아카데미 대표

위성도시는 어디쯤 세워야 할까요

다음은 삼각형의 오심 중에서 외심 또는 수심이 어떻게 응용되는지 확인할 수 있는 문제입니다. 도형에 대한 이해가 충분하면 도시계획에도 응용할 수 있습니다.

제시문 1) 외심이란 삼각형 각 변의 수직이등분선의 교점을 말한다. 외심과 각 꼭짓점의 거리는 같다. 따라서 외심을 중심으로 원을 그으면 삼각형의 세 꼭짓점은 외접원의 원주상에 있다. 즉, 외심은 중심이 된다.

수심이란 삼각형의 한 꼭짓점에서 각 대변에 수선을 그어 만난 교점을 말한다. 평면도형에서 수심을 지나는 직선은 삼각형의 높이가 된다.

제시문 2) 도시가 자연 발생적으로 성장하여 인구가 1000만 명을 넘게 되면서 여러 가지 도시문제(주택 부족, 상하수도 시설미비, 교통체증, 교육문제 등)가 발생하게 되었다. 다음은 세 끝 지점에 부도심이 형성되어 있고 불규칙한 모습의 도시모형이 만들어졌다. 시민의 여론조사에 따르면 도심으로부터 이동거리와 교통수단이 거주지를 이전하는 가장 중요한 요소임이 확인되었다. 인구 분산을 위해 시청의 도시계획 위원장은 다음의 조건에 맞는 세 개의 위성도시(신도시)를 만들기로 했다.

1. 위성도시를 만들 때, 도심(시청 위치)에서 위성도시까지 거리가 같은 지역을 선정한다.



2. 부도심과 위성도시는 접근성(이동시간)이 같은 지점에 위치해야 인구 분산이 가능하다.(단, 모든 교통수단은 일정한 속력으로 이동한다.)

위성도시는 어디쯤 세워야 할까요
문제) 시청이 위치하는 지점을 도심이라 할 때, 위성도시는 도심으로부터 어느 정도에 위치해야 하는가? 또한 도심은 기존 도시 내에서 어느 지점에 있어야 하는지 시청의 위치를 정하고 그 이유를 서술하시오. (A, B, C점은 기존 도시의 부도심이다.)

551호 문제 정답 및 해설

한 변의 길이가 5m인 정사각형의 맨홀에 1m 간격으로 선을 긋는다고 가정하고 P점을 x, y 평면의 원점(0.0)으로 잡는다. 녹이 슬어 있는 부분을 도려내고 직선으로 연결하면 오각형 ABCDE가 만들어진다. 이때 (x, y) 좌표를 순서쌍으로 나타내면 A(1, 2) B(2, 0) C(3, 1) D(4, 4) E(2, 4)이다.

오각형을 세 삼각형 △ABE, △BCE, △CDE로 나누고 제시문에 따라 각각의 무게중심의 좌표를 구하면 다음과 같다. (단, 무게중심과 질량중심은 같은 뜻으로 쓰기로 한다.)

위성도시는 어디쯤 세워야 할까요
△ABE 면적 : 2, 무게중심 좌표 G₁( 5/3 , 2)

△BCE 면적 : 2, 무게중심 좌표 G₂(7/3 , 5/3 )

△CDE 면적 : 3, 무게중심 좌표 G₃(3, 3)

(1) 전체 오각형 ABCDE의 단면적은 7m2이고 두께가 0.1m이므로 부피는 0.7m3이다(=7X0.1). 질량=밀도X부피에 따라 총질량은 5.46×103kg(=0.7m3×7.8×103kg/m2)이며, 1kg당 비용이 2만원이라면 총비용은 1억920만원 정도가 된다.

(2) 사각형 ABCE의 무게중심(질량중심)은 △ABE와 △BCE의 면적비가 1:1이므로 선분 /G4 G3의 중점 G₄(2, 11/6 )가 된다. 오각형 ABCDE의 무게중심(질량중심)은 사각형 ABCE와 △CDE의 면적비가 4:3이므로 선분 /G1 G2을 3:4(면적의 역수비) 내분한 점 G가 된다.

즉, 실제 도형 오각형 ABCDE의 질량중심 G의 좌표는 ( 17/7 , 7/3 )이 된다. 여기서 주의해야 할 것은 세 무게중심 G₁, G₂, G₃로 만들어지는 삼각형의 무게중심이 전체의 무게중심이 아님을 이해해야 한다.

결론적으로 기중기의 자석을 오각형 ABCDE의 질량중심 G에 연결하면 전체적으로 균형을 이루므로 사고 없이 안전하게 작업을 마칠 수 있다.




주간동아 552호 (p99~99)

김정금 JK 수리논술연구소장·제일아카데미 대표
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