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수리·과학 논술은 이렇게

농구 선수 체공시간은 겨우 1초

  • 김정금 JK 수리논술연구소장·제일아카데미 대표

농구 선수 체공시간은 겨우 1초

발레리나나 농구 선수들은 높이 점프할 수 있는 능력을 태어날 때부터 지닌 사람들이다. 그들이 위쪽으로 똑바로 뛰어오르는 것은 마치 중력에 대항해 공중에 매달리는 것처럼 보인다. 친구에게 ‘최고의 점퍼들이 공중에 떠 있는 시간(체공시간)’이 얼마인지 물어보자. 1초 아니면 2초? 4, 5초 정도?

아니다! 놀랍게도 최고 점퍼들의 체공시간은 대부분 1초보다 짧다. 그럼에도 공중에 떠 있는 시간이 길게 느껴지는 것은 우리가 대자연에 대해 품고 있는 많은 의혹 중 하나다.

점프하는 능력은 서 있는 상태에서 연직으로 점프할 때 가장 잘 측정할 수 있다. 벽을 마주 보고 서서 발바닥이 지면에 완전히 닿은 상태에서 팔을 위로 뻗어 손이 도달하는 지점을 표시한다. 그런 뒤 점프를 하여 최고점을 표시한 다음 두 지점 사이의 연직 거리를 측정한다. 이 거리가 0.6m 이상이면 점프 능력이 아주 뛰어난 사람이다.

러닝점프 할 때는 체공시간 다소 증가

점프도 물리적 현상 중 하나다. 점프하는 힘은 발이 지면에 닿아 있는 동안만 작용한다. 따라서 그 힘이 클수록 뛰어오르는 속력이 커지고, 더 높이 점프할 수 있다. 발이 지면에서 떨어지는 순간부터 위쪽으로의 속력은 g(≒10m/s2)만큼씩 일정하게 감소한다.



위쪽으로의 속력이 0이 됐을 때 최고점에 이른다. 이때 다시 내려오기 시작하면 속력은 올라갈 때와 같은 비율로 g만큼씩 증가한다. 다리를 똑바로 편 상태에서 올라갔다가 다시 내려오면 상승 시간과 하강 시간은 같다. 체공시간은 상승 시간과 하강 시간을 더한 것이다. 공중에 떠 있는 동안 팔과 다리를 흔들거나 다른 몸짓을 해도 체공시간은 변하지 않을 것이다.

상승 시간이나 하강 시간과 연직 높이의 관계는 d=√1/2gt2과 같은 식으로 나타낸다. 연직 높이를 안다면 시간은 t=√2d/g 와 같은 식으로 다시 쓸 수 있다.

농구 선수인 스퍼드 웹의 점프 기록은 1.25m다. 위의 식에 d=1.25m, g=9.8m/s2을 대입하면 체공시간의 절반인 t는

t=√2d/g = √2(1.25m)/9.8m/s2z=0.50s

이 값에 두 배를 하면 웹의 체공시간은 1초다.

이제까지는 연직 운동에 관한 것만 다루었다. 그렇다면 달려가면서 점프를 하면 어떻게 될까? 체공시간은 점퍼의 처음 연직 속력에만 관계있고, 처음의 수평 속력과는 관계가 없다는 것을 알 수 있다. 공중에 떠 있는 동안 점퍼의 수평 방향 속력은 일정하지만 연직 방향 속력은 중력 때문에 변하기 때문이다.

점프하는 동안 공중에 떠 있는 시간은 수평 속도와는 무관하다고 했다. 그 이유는 수평성분과 수직성분이 서로 독립적이기 때문이다. 점프하는 것과 포물선 운동은 똑같은 원리가 적용된다. 발이 지면에서 떨어지는 순간, 공기저항을 무시한다면 점퍼에게 작용하는 힘은 중력뿐이다. 체공시간은 오로지 점프할 때 속도의 수직성분과 관계가 있다. 점프력은 달려가면서 점프할 때 다소 증가한다는 것이 증명됐다. 따라서 러닝점프를 하면 정지 상태에서 점프했을 때보다 체공시간이 길어진다. 그러나 발이 지면으로부터 떨어지는 순간, 체공시간은 유일하게 점프 속도의 수직성분에 의해서만 결정된다.

문제) 우주 정류장(기지)은 거대한 회전체 모양이어야 한다고 한다. 우주 정류장이 회전체여야 하고 커야 하는 이유는 무엇인지 말해보시오.

농구 선수 체공시간은  겨우 1초

우주 정류장

해설) 우주 공간은 무중력 상태이므로 받쳐주는 힘이 없다. 따라서 운동이 매우 불안정하다. 그러나 거대한 회전체 끝에는 원심력이 작용해 인공 중력이 만들어진다. 이때 원심가속도 a는 rω2(ω=회전속도)이므로 반지름을 크게 해서 a=rω2=g(중력가속도)로 만들면 지표면에서와 같은 운동을 할 수 있다. 따라서 우주 정류장은 거대한 회전체 모양이어야 한다.



주간동아 570호 (p95~95)

김정금 JK 수리논술연구소장·제일아카데미 대표
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