수리적 사고력을 평가하는 기준으로 중요한 영역 가운데 하나가 기하학에 대한 이해와 응용이다. 기하학 학습을 통해 도형에 대한 정의 및 정리를 증명함으로써 도형을 이해하고, 평면 및 공간에 대한 예측과 창의력을 향상시킬 수 있기 때문이다.
다음은 중·고교 과정에서 배운 기초 도형인 삼각형의 오심(외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심) 가운데 무게중심(또는 질량중심)을 활용하는 수리 논술 문제다.
제시문)
① 삼각형의 세 중선은 한 점에서 교차하는데, 이를 무게중심이라 한다. 한 꼭짓점에서 대변의 중점에 선분을 그어 만나는 점으로 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 선분을 2:1로 내분한다.
② x-y 평면에서 삼각형의 세 꼭짓점 A(x₁, y₁) B(x₂, y₂) C(x₃, y₃)를 좌표평면에 나타낼 때,
선분 BC의 중점 M(x2 + x3/2, y2 + y3/2)과 한 꼭짓점 A(x₁, y₁)를 연결한 선분 AM을 2:1로 내분한 점 G(x1 + x2 + x3/3, y1 + y2 + y3/3)로 표현한다.
③ 무게중심과 두 꼭짓점으로 이루어지는 3개의 삼각형의 넓이는 같다. 일정한 질량을 갖는 삼각형인 경우 무게중심이 질량중심이 된다.
문제)
다음 두께 10cm, 한 변 길이 5m인 정사각형 모양의 철판으로 만들어진 맨홀이 있다. 오랫동안 사용해 녹이 슬어서 다음과 같은 형태로 남아 있다. 완전 교체하는 데 비용이 많이 들어서 녹슨 부분만 제거하고 보완하려고 한다. 새로 만들어서 채워야 하는 도형을 그리고, 만드는 데 드는 총 질량과 비용을 산정하시오.
또한 새로 만들어진 철판이 매우 무거워서 자석을 이용한 기중기를 활용하려고 한다. 단, 기중기는 질량중심에 자석을 연결하지 않으면 균형을 잃어서 사고가 나게 된다. 사고 없이 정확하게 새로 만들어진 도형을 채울 수 있는 방법을 제시하시오.(재료비 : 2만원/철 1kg, 철의 밀도 : 7.8×10³km/㎡) (정답 및 해설은 다음 호에 실립니다.)
다음은 중·고교 과정에서 배운 기초 도형인 삼각형의 오심(외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심) 가운데 무게중심(또는 질량중심)을 활용하는 수리 논술 문제다.
제시문)
① 삼각형의 세 중선은 한 점에서 교차하는데, 이를 무게중심이라 한다. 한 꼭짓점에서 대변의 중점에 선분을 그어 만나는 점으로 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 선분을 2:1로 내분한다.
② x-y 평면에서 삼각형의 세 꼭짓점 A(x₁, y₁) B(x₂, y₂) C(x₃, y₃)를 좌표평면에 나타낼 때,
선분 BC의 중점 M(x2 + x3/2, y2 + y3/2)과 한 꼭짓점 A(x₁, y₁)를 연결한 선분 AM을 2:1로 내분한 점 G(x1 + x2 + x3/3, y1 + y2 + y3/3)로 표현한다.
③ 무게중심과 두 꼭짓점으로 이루어지는 3개의 삼각형의 넓이는 같다. 일정한 질량을 갖는 삼각형인 경우 무게중심이 질량중심이 된다.
문제)
다음 두께 10cm, 한 변 길이 5m인 정사각형 모양의 철판으로 만들어진 맨홀이 있다. 오랫동안 사용해 녹이 슬어서 다음과 같은 형태로 남아 있다. 완전 교체하는 데 비용이 많이 들어서 녹슨 부분만 제거하고 보완하려고 한다. 새로 만들어서 채워야 하는 도형을 그리고, 만드는 데 드는 총 질량과 비용을 산정하시오.
또한 새로 만들어진 철판이 매우 무거워서 자석을 이용한 기중기를 활용하려고 한다. 단, 기중기는 질량중심에 자석을 연결하지 않으면 균형을 잃어서 사고가 나게 된다. 사고 없이 정확하게 새로 만들어진 도형을 채울 수 있는 방법을 제시하시오.(재료비 : 2만원/철 1kg, 철의 밀도 : 7.8×10³km/㎡) (정답 및 해설은 다음 호에 실립니다.)
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